Regras Fundamentais de Contagem
As regras de contagem são a base da probabilidade e combinatória, permitindo determinar o número de maneiras que eventos podem ocorrer ou itens podem ser arranjados ou selecionados.
O PrincÃpio Fundamental da Contagem
Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, então os dois eventos juntos podem ocorrer de m * n maneiras. Este princÃpio é a pedra angular de todas as outras regras de contagem.
Fatorial (n!)
O fatorial de um número inteiro não negativo n, denotado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1.
Permutações P(n, k)
As permutações referem-se ao número de maneiras de arranjar k itens de um conjunto de n itens distintos, onde a ordem dos itens importa. A fórmula é P(n, k) = n! / (n - k)!
Exemplo: Quantas senhas de 3 dÃgitos diferentes podem ser formadas com os números 1, 2, 3, 4? (n=4, k=3) A ordem importa (123 é diferente de 321).
Combinações C(n, k)
As combinações referem-se ao número de maneiras de selecionar k itens de um conjunto de n itens distintos, onde a ordem dos itens não importa. A fórmula é C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
Exemplo: De um grupo de 10 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas? (n=10, k=3) A ordem das pessoas na comissão não importa.
Arranjo com Repetição (n^k)
O arranjo com repetição calcula o número de maneiras de arranjar k itens de um conjunto de n itens, permitindo que os itens sejam repetidos e a ordem importa. A fórmula é nk.
Exemplo: Quantos números de 3 dÃgitos podem ser formados usando os dÃgitos 1, 2, 3, 4, 5? (n=5, k=3) Aqui, 111 é válido, e 123 é diferente de 321.