Calculadora do Teorema de Pick

Utilize esta ferramenta para aplicar o Teorema de Pick e determinar a área de um polígono simples cujos vértices estão em pontos de uma grade quadriculada, com base no número de pontos internos e na fronteira.

Número de Pontos Internos (I):

Número de Pontos na Fronteira (B):

O Que é o Teorema de Pick?

O Teorema de Pick é uma fórmula fascinante na geometria que permite calcular a área de um polígono simples (sem autointerseções) cujos vértices estão localizados em pontos de uma grade quadriculada (também conhecida como malha ou treliça). Foi descoberto em 1899 pelo matemático austríaco Georg Alexander Pick.

A Fórmula de Pick

A área (A) de tal polígono pode ser calculada com a seguinte e surpreendentemente simples fórmula:

A = I + B/2 - 1

Onde:

I representa o número de pontos da grade que estão estritamente dentro do polígono (pontos internos).
B representa o número de pontos da grade que estão na fronteira do polígono (incluindo os vértices).

Condições de Aplicação

Para que o Teorema de Pick seja aplicável, o polígono deve satisfazer duas condições importantes:

Deve ser um polígono simples: suas arestas não podem se cruzar, e ele não deve ter "buracos".
Todos os seus vértices devem estar em pontos de uma grade (coordenadas inteiras).

Exemplo Prático

Imagine um polígono em uma grade que tem 7 pontos internos (I=7) e 10 pontos na fronteira (B=10). Aplicando a fórmula:

A = 7 + 10/2 - 1
A = 7 + 5 - 1
A = 11

Portanto, a área desse polígono é de 11 unidades de área.

Aplicações

O Teorema de Pick é um belo exemplo de como a matemática pode conectar conceitos simples (contagem de pontos) a resultados complexos (cálculo de área), sendo útil em problemas de geometria computacional e em certas áreas da física.