Calculadora do Índice de Injetividade

Determine se uma função ou mapeamento é injetor (um-para-um) e calcule seu índice de injetividade.

Elementos do Domínio (D):

Ex: a, b, c ou 1, 2, 3. Utilize apenas vírgulas para separar os elementos.

Elementos do Contradomínio (CD):

Ex: x, y, z ou 10, 20, 30. Utilize apenas vírgulas para separar os elementos.

Mapeamentos (f: D → CD):

Cada par deve ser na forma (elemento_dominio, elemento_contradominio). Separe os pares por vírgula. Ex: (1, A), (2, B).

O Que é o Índice de Injetividade?

O conceito de injetividade, ou função um-para-um, é fundamental na matemática, especialmente na teoria dos conjuntos e álgebra. Uma função é considerada injetora se cada elemento distinto do seu domínio é mapeado para um elemento único e distinto no seu contradomínio. Em outras palavras, não há dois elementos diferentes do domínio que se associam ao mesmo elemento do contradomínio.

Definição Formal

Formalmente, uma função f: D → CD é injetora se, para quaisquer a, b pertencentes ao domínio D, com a ≠ b, temos que f(a) ≠ f(b) no contradomínio CD. De forma equivalente, se f(a) = f(b), então necessariamente a = b.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Domínio (D): É o conjunto de todos os valores de entrada possíveis para a função.
Contradomínio (CD): É o conjunto de todos os valores que a função pode potencialmente produzir.
Imagem (Im(f)): É o subconjunto do contradomínio que contém todos os valores que a função realmente produz para os elementos do domínio. Para uma função ser injetora, o número de elementos distintos na imagem deve ser igual ao número de elementos no domínio (desde que a função seja bem definida).

Calculando o Índice de Injetividade

Nesta calculadora, o Índice de Injetividade é uma medida simplificada de quão "próxima" a função está de ser injetora. Ele é calculado como a razão entre o número de elementos únicos na imagem da função e o número total de elementos no domínio.

Se o índice for 1 (e a função for válida), a função é injetora. Isso significa que cada elemento do domínio mapeia para um elemento distinto do contradomínio.
Se o índice for menor que 1, a função não é injetora. Isso indica que pelo menos dois elementos diferentes do domínio estão mapeando para o mesmo elemento no contradomínio.

Exemplos

Função Injetora: D = {1, 2, 3}, CD = {A, B, C, D}. Mapeamentos: (1, A), (2, B), (3, C). O índice será 1.
Função Não Injetora: D = {1, 2, 3}, CD = {A, B, C}. Mapeamentos: (1, A), (2, B), (3, A). Aqui, 1 e 3 mapeiam para A. O índice será 2/3 ≈ 0.67.

Esta ferramenta é ideal para estudantes e profissionais que desejam compreender e verificar a propriedade de injetividade de forma prática.